Stratený paradox

Paul Tissier tvrdí, že Russellov paradox nie je v skutočnosti paradoxom.

Bev a Ali sú hlboko v diskusii.

Ali: Skutočné paradoxy nemôžu byť, však? Tie, ktoré sa tvária ako paradoxy, v skutočnosti obsahujú nejednoznačnosti vo význame, zanedbané informácie, skryté domnienky... Skrátka, všetko je to dym a zrkadlá. Som tak unavený z tohto svinstva. Roky makám na zadku a ledva sa zaobídem. Nemôžem si dovoliť ani bývať sama a uviazla som u rodičov. Je mi tak zle z tohto kolobehu. Mám pocit, že sa nikdy nedostanem dopredu.

Bev: Možno si to myslíš. Russellov paradox v teórii množín však pritiahol veľkú pozornosť v literatúre. V skutočnosti Gottlob Frege, popredný logik a matematik v tom čase, cítil, že tento paradox zdevastoval jeho základnú prácu o teórii množín a základoch matematiky. Bol som naozaj nahnevaný, keď mi môj šéf povedal, že musím dnes neskoro večer pracovať. Nemyslím si, že je fér, že vždy očakáva, že zostanem neskoro, keď sú v kancelárii iní ľudia, ktorí by túto prácu mohli ľahko urobiť. Nedostávam dosť peňazí na to, aby som zostal neskoro, a nie je to tak, že by mi môj šéf zvýšil plat, ak odvediem dobrú prácu.

Bertrand Russell od Stephena Laheyho

Ali: Takže ak Russell’s Paradox obstojí, znepokojivo by to otriaslo základmi matematiky?

Bev: Správne. Poďme sa teda pozrieť, o čo ide. Všetci vieme – alebo si myslíme, že vieme – čo je „množina“: súbor všetkých tých a len tých entít s definovanou vlastnosťou. Členmi množiny môžu byť jednoduché objekty alebo to môžu byť samotné množiny. Je to posledná možnosť, ktorá nás tu zaujíma. Množiny môžu byť aj nečlenské alebo samočlenné: môžu alebo nemusia patriť sebe. Príklady prvého by zahŕňali množinu všetkých konečných množín, ktorá je nekonečná, a teda nečlenená. Na druhej strane, množina všetkých nekonečných množín je sama osebe nekonečná, a preto musí byť v sebe zahrnutá, takže je samočlenná. Všetky množiny sú buď samočlenné alebo samočlenné.

Ali: OK... Ale mám pocit, že ma chytia do pasce alebo možno podvedú.

Bev: Dobre zvážte množinu všetkých nečlenených množín, ktoré pre argumentáciu nazvime „N“.

Ali: Počkaj! Má takýto súbor dokonca existujú ?

Bev: Prečo nie? Rovnako ako u všetkých ostatných množín je členstvo v množine jasne definované a množinu definujú jej členovia.

Ali: Dobre. Dobre…

Bev: Môžeme sa teda spýtať – ako to urobil sám Bertrand Russell, nepochybne so šibalským úsmevom – je množina N samočlenná alebo nečlenená? Je množina všetkých nesamočlenných množín členom samej seba alebo nie? Ak je množina všetkých nesamočlenných množín samočlenná, potom je samočlenná; ale ak nie je samočlenný, potom je samočlenný! Vidíš? Do očí bijúci paradox.

Alebo: ( po dlhšej odmlke ) Čo s tým teda robiť?

Bev: Boli rôzne návrhy. Napríklad množina N jednoducho neexistuje; alebo je príliš veľký, príliš neposlušný na to, aby sa dal nazvať súborom, takže by sme ho mali nazvať inak, možno „trieda“; alebo členovia množiny sú iným druhom vecí ako množina, ktorá ich obsahuje, takže nie sada môže byť samočlenná.

Ali: Posledná alternatíva sa mi zdá byť najbližšie k značke. Ak si totiž predstavíme, že množina je skonštruovaná z členov množiny, naznačuje to, že títo členovia sú nejakým spôsobom logicky pred množinou, do ktorej patria. Ak áno, potom nemá zmysel tvrdiť, že jedným z členov súpravy je samotná súprava – práve tá súprava, ktorá sa práve vytvára! Tento nedostatok zmyslu sa prejaví, ak sa spýtame: „Ak je množina „S“ členom samej seba, čo presne znamená „sama“?“ S bez S by znamenalo, že S nie je samočlenné, čo je v rozpore s našou definíciou. Napriek tomu S vrátane S nie je len S, ale S s prídavkom. Ani v jednom prípade nemáme S ako samočlenné. Žiadna množina teda nemôže byť samočlenná. Russellov paradox zmizne.

Bev: Ale proti tomu by sa dalo namietať, že neexistuje žiadna logická priorita potrebná na stavbu súpravy, pretože neexistuje žiadna „stavba“. Množina buď existuje, ako je definovaná, alebo neexistuje. Ak je teda množina S členom samej seba, potom keď prechádzame členmi S, nájdeme aj samotný S zahrnutý. Nemusel sa pridávať. Jednoducho je tam rovnako ako všetci ostatní členovia sady.

Ali: Takže množina všetkých nečlenených množín môže byť samočlenná, alebo nemusí byť?

Bev: Myslím, že môžeme urobiť výrečnejší argument. Je potrebné zdôrazniť dva body týkajúce sa vlastností „samočlenný“ a „nečlenský“. Po prvé, vlastnosti sú derivát – nemôžu stáť osamotene, ako to môže byť „byť konečný“ alebo „byť nekonečný“. Vznikajú výlučne vďaka predchádzajúcim vlastnostiam množiny. Po druhé, a zahŕňajúc prvý bod, byť „samočlenom“ alebo „nečlenom“ musí byť výsledkom určitého rozhodovacieho postupu: označenie musí byť pravdivé alebo nepravdivé, musí byť logicky možné, zistiteľné. Ako by v tomto svetle mohla mať odpoveď na otázku „Je N samočlenný alebo nečlenský?“? Nedalo sa. Dať odpoveď znamená odpovedať na nezodpovedateľnú otázku, a to je protirečenie. A samozrejme, bolo by dosť absurdné tvrdiť, že N je samočlenný pretože je nečlenská – a naopak.

Ali: Zdá sa, že to isté platí pre N* – množinu všetkých samočlenných množín, akéhosi symetrického partnera k N. Takže v prípade N*, ak povieme, že N* je samočlenné alebo vlastne nie -samočlenný, pre nič iné, než že je samočlenný, alebo nesebačlenný, vtedy nehovoríme vôbec nič. To isté platí pre N, napriek tomu, že sa to zdá paradoxné.

Bev: Správne. Russellov paradox nie je paradox. Zdanlivý paradox je len výsledkom sledovania určitej formy slov, ktoré majú za cieľ opísať skutočnosť; ale v skutočnosti nič nevyberá z matematickej reality fráza „množina všetkých množín, ktoré nie sú ich členmi, sú sebačlenné alebo nečlenské“.

Ali: Tvrdenie, že všetky množiny sú samočlenné alebo nečlenené, je jednoznačne nesprávne v prípade N a N*. Obaja nie sú ani nečlenovia, ani samočlenovia.

Bev: A to by nemalo byť prekvapujúce. Možno máme paralelu s druhou odmocninou -1. Je to perfektne použiteľné číslo, no nie je väčšie ani rovné nule, ani menšie ako nula.

Paul Tissier je učiteľom fyziky a matematiky na Brighton College, East Sussex.